<T->
          Matemtica e realidade
          6 ano

          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2011 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1063-2
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>
                               I
Sumrio

Quarta Parte

<F->
Unidade 5 -- Fraes 
Captulo 14- O que  
  frao? ::::::::::::::::::: 383 
Fraes da unidade ::::::::: 384
Fraes de um conjunto ::::: 392
Tipos de frao :::::::::::: 403
Captulo 15- Fraes
  equivalentes :::::::::::::: 418
Conceito de fraes 
  equivalentes :::::::::::::: 420
Simplificao de fraes ::: 428 
Captulo 16- Comparao de 
  fraes ::::::::::::::::::: 441
Comparao de fraes :::::: 443 
Captulo 17- Operaes com 
  fraes ::::::::::::::::::: 449
Adio ::::::::::::::::::::: 450
Subtrao :::::::::::::::::: 452
Multiplicao :::::::::::::: 457
Diviso :::::::::::::::::::: 467
Potenciao :::::::::::::::: 479
Matemtica no tempo --
  Fraes :::::::::::::::::: 488
<F+>
<p>
<153>
<T mat. realidade 6>
<t+383> 
Unidade 5 -- Fraes 

<F->
Captulos:                  
14- O que  frao?         
15- Fraes equivalentes    
16- Comparao de fraes   
17- Operaes com fraes   
<F+>
 
<154>
Captulo 14- O que  frao?

Separando e juntando partes 

  Voc conhece este material? 
  Trata-se de um quebra-cabea milenar, de origem chinesa, chamado *Tch'i Tch' iao pan*, que significa as sete tbuas da 
 argcia. 
  Esse quebra-cabea -- conhecido entre ns com o nome de Tangram --  formado por sete peas, com as quais  possvel construir um quadrado. 
<p>
  Veja as peas que compem o Tangram: 1 quadrado, 5 tringulos e 1 paralelogramo.
  Com as sete peas do Tangram,  possvel formar diferentes figuras. Observe algumas delas: gato e coelho. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<155>

Fraes da unidade 

  Agora, responda: 
  Que parte da unidade -- isto , do quadrado -- cada um dos tringulos azuis representa? 
  Com quatro tringulos azuis  possvel cobrir todo o quadrado maior. Veja: 
<p>
<R+>
_`[{os tringulos azuis esto identificados pela letra A_`]
<R->

<F->
  !:::::::::
  le       i_
  l e  A i _
  l  e   i  _
  l   e i   _
  l A x A _
  l   i e   _
  l  i   e  _   
  l i  A e _
  li       e_
  h:::::::::j
<F+>

  Isso significa que o quadrado maior pode ser dividido em quatro tringulos azuis, e cada tringulo 
<p>
azul representa um quarto da unidade, que indicamos por #,d. 
 
<F->
  !:::::::::
  le       i_
  l e     i _
  l  e   i  _
  l   e i   _
  l    x A _
  l   i e   _
  l  i   e  _   
  l i     e _
  li       e_
  h:::::::::j    
<F+>

um quarto ou #,d

  Quando tomamos uma unidade e a dividimos em quatro partes iguais, cada parte  chamada um quarto. 
  Se, em vez de uma, tomamos duas partes, formamos dois quartos, que indicamos por #;d; se consideramos 
<p>
trs dessas partes, formamos trs 
quartos, que indicamos por #:d. 
 
<F->
  !:::::::::
  le       i_
  l e  A i _
  l  e   i  _
  l   e i   _
  l    x A _
  l   i e   _
  l  i   e  _   
  l i     e _
  li       e_
  h:::::::::j
<F+>

dois quartos ou #;d 
<p>
<F->
  !:::::::::
  le       i_
  l e  A i _
  l  e   i  _
  l   e i   _
  l A x A _
  l   i e   _
  l  i   e  _   
  l i     e _
  li       e_
  h:::::::::j

trs quartos ou #:d 

<156> 
  E que parte da unidade o tringulo lils representa? 
  Para responder a essa pergunta,  preciso verificar quantos tringulos lilases cabem no quadrado inteiro. Veja: 
<p>
<R+>
_`[{os tringulos lilases esto identificados pela letra L_`]
<R->

<F->
   pcccccccccc
   l    _     _
   lL  _  L _
   l    _     _
   l L _ L  _
   l    _     _
   -----_------
        _      
   l    _     _
   l L _ L  _
   l    _     _
   lL  _  L _
   l    _     _
   v----------#
<F+>

  Verificamos que oito tringulos lilases cobrem exatamente todo o quadrado. 
  Se tomamos as oito partes (os oito tringulos lilases), estamos tomando o inteiro (ou unidade), que indicamos por #"h ou 1. 
  Observe que: #"h=1. 
<p>
  Cada tringulo lils representa, ento, um oitavo do inteiro, que indicamos por #,h. 

  pcccccccccc
  l    _     _
  l    _     _
  l    _     _
  l    _     _
  l    _     _
  -----_------
       _      
  l    _     _
  l    _ L  _
  l    _     _
  l    _     _
  l    _     _
  v----------#

um oitavo ou #,h
<p>
  pcccccccccc
  l    _     _
  l    _     _
  l    _     _
  l    _     _
  l    _     _
  -----_------
       _      
  l    _     _
  l L _ L  _
  l    _     _
  l    _  L _
  l    _     _
  v----------#

trs oitavos ou #:h 

  Os nmeros #,d, #;d, #:d, #,h, #:h e #"h so exemplos de fraes.
  Podemos dizer, ento, que frao  um nmero que representa partes de um inteiro. 
  Nas fraes, o denominador indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida. O numerador 
<p>
indica quantas partes da unidade foram tomadas. Exemplo: 
 #:h
 3 :> numerador 
 #h  :> denominador
  O numerador e o denominador so os termos da frao. 
<157>

Fraes de um conjunto 

Filhos e filhas 

  Um casal tem 5 filhos: Alfredo, Carlos, nio, Lucas e Marisa. 
  Na famlia, os homens representam #?g (cinco stimos). E as mulheres representam #;g (dois stimos) do total de pessoas. 

Os meses do ano 

  No ano h quatro meses de 30 dias (abril, junho, setembro e novembro); 7 meses de 31 dias (janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro e dezembro); e um ms de 28 dias (fevereiro). 
  Os meses mais longos representam #=ab do total de meses do ano. O ms mais curto representa #,ab do total de meses do ano. 
<158>

Exerccios

  Para efetuar a leitura de uma frao, voc deve ler o numerador e, em seguida, o nome de cada parte, que indica o nmero de partes em que a unidade foi dividida (denominador da frao). 
<p>
<R+>
1. Escreva as fraes por extenso consultando as tabelas: 
<R->

 !:::::::::::::::::::::::
 l Nmero   _ Nome de   _
 l de partes _ cada parte _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 2        _ meio       _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 3        _ tero      _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 4        _ quarto     _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 5        _ quinto     _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 6        _ sexto      _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 7        _ stimo     _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 8        _ oitavo     _
 r:::::::::::j::::::::::::w
 l 9        _ nono       _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 10       _ dcimo     _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 11       _ onze avos  _
 h:::::::::::j::::::::::::j
<p>
(continuao)
 !:::::::::::::::::::::::
 l Nmero   _ Nome de   _
 l de partes _ cada parte _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 12       _ doze avos  _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 13       _ treze avos _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 100      _ centsimo  _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 1.000    _ milsimo   _
 h:::::::::::j::::::::::::j

  *Avo*:  a terminao da palavra oitavo. Significa pequena parte de um todo, pouca coisa. 

<F->
a) #,b
b) #:d
c) #"aa
d) #,ae
e) #;c
f) #=aj
g) #?,ajj
h) #,,ce
<F+>
  
<R+>
2. Um vidraceiro est colocando vidros coloridos nas janelas das casas. Indique que frao do total os vidros j colocados em cada janela representam: 
<R->

a)
 !:::::
 l _ _  _
 r:w::w::w
 l_  _ _
 r:w::w::w
 l_ _  _
 h:j::j::j

b)
 !::::
 l _  _
 r::w::w
 l  _  _
 h::j::j

c)
 !:::::
 l_  _  _
 h:j::j::j
<P>
d)
 !:::::::
 l_ _  _  _
 h:j::j::j::j

e)
 !:
 l_
 r:w
 l_
 r:w
 l_
 r:w
 l _
 h:j

<R+>
3. Esta  uma barra do chocolate *choko*.
<R->

 !:::::::::::::::
 l   _   _ o _ k _ o _
 h:::j:::j:::j:::j:::j
<p>
<R+>
<F->
  Alexandre j comeu a parte correspondente s letras *c* e *h*. 
a) Que frao representa a parte que Alexandre comeu? 
b) Qual  o denominador dessa frao? E o numerador? 
c) Que frao representa a parte que sobrou? 
d) Qual  o denominador dessa frao? E o numerador? 
<159> 

4. Este  um ladrilho de cermica muito utilizado para recobrir o cho. Desenhe o ladrilho no caderno e pinte #;c de uma cor e #,c de outra. 

  cccc
       
        
        
       
  ----

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
5. Observe a foto que Ricardo tirou com seus amigos, na excurso ao parque de diverses. 

_`[{desenho adaptado da foto; os meninos esto representados pelos smbolos  y e as meninas pelos smbolos o_`]

<F->
!:::::::::::::::::
l                 _
l  o y  y  y  _
l                 _
l  o o  o      _
l                 _
l    y y        _
l                 _
h:::::::::::::::::j
<F+>

<R+>
<F->
a) Que frao do total de pessoas o nmero de meninos representa? 
b) Que frao do total de pessoas  representada pelas meninas? 
<p>
6. Em uma Olimpada de Matemtica, inscreveram-se 250 alunos. O prmio para os 50 melhores  uma excurso. Gabriela, Alexandre, Ricardo, Luciana, Maurcio, Leonardo, Paulo, Renato, Pedro, Priscila e Jussara reuniram-se na casa de Gabriela para estudar. Gabriela possui muitos livros. Das 7 prateleiras de sua estante, 3 esto repletas de livros de Matemtica e as outras esto com livros de outras matrias. 
a) Do grupo que vai se reunir para estudar na casa de Gabriela, qual  a frao representada pelos meninos?  
b) Qual  a frao representada pelas meninas? 
c) Do total de alunos que vo participar da Olimpada, que frao  representada pelos alunos que vo ganhar a excurso?  
<p>
d) Que frao  representada pelas prateleiras da estante de Gabriela que no esto com livros de Matemtica? 

7. Como devem ser lidas as fraes a seguir? 
a) 16
b) 91.000
c) 47
d) 512
e) 1150
f) 713

8. Que frao est indicada em cada item?
a) quatrocentos e vinte e trs milsimos
b) dois dcimos
c) sete vinte avos
d) trs centsimos
e) trs quintos
<160>

9. Calcule quanto : 
a) #,d de 20 
b) #,e de 30 
c) #,c de 24 
d) #?g de 14 
e) #:d de 24 
f) #;e de 20

10. Siga as dicas: Qual  o nmero? 
a) #,c dele  5. 
b) #e dele  28. 

11. Sabe-se que #;g de um nmero  14. 
a) Quanto  #,g desse nmero? 
b) Qual  o nmero? 

12. Lucas tem 3 anos. A idade de Lucas  #:e da idade de sua prima. Quantos anos tem a prima de Lucas? 
13. Ricardo ficou doente e precisou faltar a algumas aulas. Ele sabe que no pode faltar a mais de #,d das aulas dadas. Se a classe de Ricardo tiver 180 aulas de Matemtica durante o ano, qual  o nmero mximo de faltas que ele poder ter nessa disciplina?  
<p>
14. Alexandre leu 10 pginas de um gibi, e Maurcio leu 28 pginas de um livro. Desse modo, Alexandre leu #;e do gibi, e Maurcio leu #e do livro. Quantas pginas tem o gibi de Alexandre? E o livro de Maurcio? 

15. Sabe-se que #;g de um nmero  360. Ache: 
a) #i desse nmero; 
b) #,d desse nmero; 
c) #:d desse nmero. 
<F+>
<R->
<161> 

Tipos de frao 

  Por meio dos exerccios a seguir, voc vai conhecer os vrios tipos de frao. 
<p>
Exerccios

<R+>
_`[{nos exerccios a seguir os crculos foram substitudos por retngulos e as partes coloridas 
  das figuras foram representadas pelo smbolo _`]

<F->
16. Observe que, na figura a seguir, o retngulo representa a unidade: 

 !:::::
 l_ _  _
 h:j::j::j

a) Que frao a parte colorida da figura representa? 
b) Qual  o numerador da frao? 
c) Qual  o denominador da frao?  
d) Compare o numerador da frao com o denominador. Qual  menor? 
<F+>
<R->

  Dizemos que #;c  uma frao prpria.

  Fraes prprias so aquelas em que o numerador  menor que o denominador. 

<R+>
17. Observe a seguir que cada retngulo representa uma unidade. 
<R->

 !:::   !:::
 l _ _ _   l _ _ _
 h:j:j:j   h:j:j:j

<R+>
<F->
a) Em quantas partes est dividida cada uma das duas unidades?  
  Agora observe as figuras e responda s questes a seguir: 

 !:::::   !:::::
 l_ _ _   l_ _  _
 h:j::j::j   h:j::j::j

b) No total, quantas partes foram coloridas? 
c) Que frao representa as partes coloridas das duas figuras juntas? 
<p>
d) Qual  o numerador da frao? 
e) Qual  o denominador? 
f) Compare o numerador da frao com o denominador. Qual  maior? 
<F+>
<R->

  Dizemos que #?c  uma frao imprpria.

  Fraes imprprias so aquelas em que o numerador  maior ou igual ao denominador. 
<162>

<R+>
18. A seguir, temos duas unidades, cada uma representada por um retngulo:
<R->

 !:::::   !:::::
 l_ _ _   l_ _ _
 h:j::j::j   h:j::j::j
 
<R+>
<F->
a) Em quantas partes est dividida cada uma das unidades? 
b) Quantas dessas partes foram coloridas? 
c) Que frao representa as partes coloridas dos dois retngulos? 
<p>
d) Qual  o numerador da frao? 
e) Qual  o denominador da frao? 
f) Compare o numerador da frao com o denominador. Podemos afirmar que o numerador  mltiplo do denominador? 
<F+>
<R->

  Dizemos que #!c  uma frao aparente.

  Fraes aparentes so aquelas em que o numerador  mltiplo do denominador. 

<R+>
<F->
19. Classifique as seguintes fraes como prprias, imprprias ou aparentes: 
a) #;h 
b) #"b 
c) #?f 
d) #!e
e) #d
f) #,i 
g) #*a 
<F+>
<R->
<p>
20. Observe as trs figuras: 

I
 !:::::::
 l_ _ _ _ 
 h:j::j::j::j 

II
 !:::::::
 l_ _ _  _   
 h:j::j::j::j  

III
 !:::::::   !:::::::
 l_ _ _ _   l_ _ _  _
 h:j::j::j::j   h:j::j::j::j

<R+>
<F->
a) Que frao representa as partes coloridas em cada figura?  
b) Classifique essas fraes como prprias, imprprias ou aparentes. 
c) Usando as fraes obtidas no item a), complete em seu caderno a sentena a seguir, de modo que ela seja verdadeira: 
  74=''''''+''''''
<p>
d) Quantas unidades inteiras a frao #d representa?  
e) Copie a sentena e complete-a: 74=1 inteiro +'''''' 
<F+>
<R->

  J vimos que #=d=1 inteiro +
 +#:d.
  Ento, podemos escrever a frao #=d na forma mista 1#:d. 
  Logo: #=d=1#:d
  Isso significa que a frao #=d contm uma unidade inteira mais trs quartos. 

<R+>
21. Copie a tabela no caderno e, utilizando as fraes a seguir, complete-a. 
<R->

<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::::
 l            Frao             _
 r::::::::::::::::::::::::::::::w
 l prpria _ imprpria _ aparente _
 r:::::::::w:::::::::::w::::::::::w
 l '''     _ '''       _ '''      _
 h:::::::::j:::::::::::j::::::::::j

<F->
#,,c 
#*d 
#,*h 
#;g 
#"d 
#,g 
#,}a 
#,;}aj
<163>

<R+>
22. Utilizando as fraes imprprias do exerccio anterior, desenhe no seu caderno as figuras que elas representam e 
  escreva as fraes mistas correspondentes. 

<R->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<p>
  As fraes imprprias e no aparentes podem ser escritas na forma mista.

<R+>
23. Copie a tabela a seguir no caderno e complete-a com as fraes aparentes que voc obteve no exerccio 21. 

 !::::::::::::::::::::::::::
 l Frao  _ Forma de      _
 l aparente _ nmero natural _
 r::::::::::w::::::::::::::::w
 l '''      _ '''            _
 h::::::::::j::::::::::::::::j

24. Escreva o nmero natural 2 na forma de frao aparente de denominador 7. 
25. Que nmero natural as fraes aparentes #:c, #d, #?e, #;:bc, representam? 
26. Que nmero natural as fraes aparentes #}a, #}c e #}ag representam? 
<F+>
<R->
<p>
  A frao #}c pode ser interpretada assim: a unidade foi dividida em 3 partes iguais e no tomamos nenhuma parte dela.

<R+>
<F->
27. Observe as trs figuras a seguir: 

 !:::::::   !:::::::  
 l_ _ _ _   l_ _ _ _  
 h:j::j::j::j   h:j::j::j::j  

 !:::::::
 l_ _ _ _
 h:j::j::j::j

a) Que frao representam as partes com o smbolo ** dos trs retngulos? 
b) Classifique essa frao como prpria, imprpria ou aparente. 
c) #,;d correspondem a quantos inteiros? 
<p>
28. Observe as quatro figuras a seguir: 

!:::::  !:::::
l_ _ _  l_ _ _
h:j::j::j  h:j::j::j

!:::::  !:::::
l_ _ _  l_  _  _
h:j::j::j  h:j::j::j

a) Que frao representam as partes com o smbolo ** cada figura? 
b) Transcreva no caderno a sentena 103=''''''+''''''+
  +''''''+'''''' completando-a com as fraes obtidas no item a). 
c) Quantas unidades inteiras a frao #:c representa? 
d) Agora reescreva a sentena e complete-a: #,}c=3 inteiros +
  +''''''
<164>
<p>
29. A frao #,"g  uma frao imprpria. Voc pode escrev-la na forma mista, sem utilizar figuras. 
a) Efetue a diviso: 
  187=... resto ...
b) Qual  o quociente?  
c) Quantas unidades inteiras esto contidas em #,"g? 
d) Qual  o resto dessa diviso?  
e) Separando as unidades inteiras contidas em #,"g, quantos stimos sobram?  
  
  Assim: #,"g=2#g 

30. Passe para a forma mista as seguintes fraes imprprias: 
a) 265
b) 476 
c) 592
d) 1258 
e) 14713
f) 1.31325
<F+>
<R->
<p>
Como transformar um nmero 
  misto em frao imprpria 

   Para transformar um nmero misto, por exemplo, 1#;c, em frao imprpria, procedemos da seguinte forma: 
<R+>
<F->
1) Transformamos o nmero natural em frao aparente, utilizando o mesmo denominador da parte fracionria: 
1#;c=#:c+#;c
2) Ficando as duas partes com denominadores iguais, podemos som-las:
1#;c=#:c+#;c=#?c 
  De um modo mais direto, procedemos assim:
1#;c=?1.3+2*3=?3+2*3=#?c
<F+>
<R->
<165>
<p>
Exerccios

<R+>
31. Com as fraes apresentadas a seguir, construa no caderno a tabela abaixo: 

_`[{tabela adaptada_`]
 Nmero misto: '''
 Frao imprpria: '''
<R->

 2#,c
 1#;g
 4#;g
 1#,c
 2#,b
 2#:e
 3#?aa

<R+>
<F->
32. Gabriela e seu pai foram conhecer a cidade de Itaperuna, que fica a 87 quilmetros de onde ela mora. Apenas #;c da estrada que leva a Itaperuna so asfaltados. 
  No meio do caminho, seu Jacir, pai de Gabriela, parou no Restaurante do Quim para almoar. A despesa foi de R$42,00, quantia equivalente a #,d do dinheiro que seu Jacir levava. 
  Durante a viagem, Gabriela contou 170 veculos, dos quais #e eram automveis. O restante eram caminhes. 
a) Qual  o comprimento do trecho da estrada que ainda no tem asfalto? 
b) Que quantia seu Jacir levou nessa viagem? 
c) Quantos caminhes Gabriela contou na estrada? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<166>
<p>
Captulo 15- Fraes 
  equivalentes

De volta ao Tangram 

  Vamos aprender um pouco mais sobre fraes, utilizando o Tangram. 
  Cada tringulo azul a seguir representa que parte do inteiro? 

  !:::::::::
  le       i_
  l e  A i _
  l  e   i  _
  l   e i   _
  l    x    _
  l   i e   _
  l  i   e  _   
  l i     e _
  li       e_
  h:::::::::j

#,d
<p>
  E dois tringulos azuis representam que parte do inteiro? 

  !:::::::::
  le       i_
  l e  A i _
  l  e   i  _
  l   e i   _
  l A x    _
  l   i e   _
  l  i   e  _   
  l i     e _
  li       e_
  h:::::::::j
<F+>

#;d

  Observe que, juntos, os dois tringulos azuis representam #,b do inteiro.
<p>
<F->
  !:::::::::
  l        i_
  l       i _
  l      i  _
  l A  i   _
  l    i    _
  l   i     _
  l  i      _   
  l i       _
  li        _
  h:::::::::j
<F+>

#,b do inteiro, metade ou meio
<167>

Conceito de fraes equivalentes 

  Assim, #;d e #,b so fraes que representam a mesma parte da unidade. 
  As fraes #;d e #,b so chamadas fraes equivalentes.
  Indicamos: #;d~?'#,b ou, ento, #,b=#;d.
  Pense agora na seguinte situao: 
<p>
Quem comeu mais chocolate? 

  Luiz e Otvio ganharam barras de chocolate do mesmo tamanho. Luiz dividiu seu chocolate em 6 partes iguais e comeu 4 delas. Otvio preferiu dividir o seu em 3 partes iguais e comeu 2 partes. 
  Quem comeu mais chocolate? Observamos que os dois comeram quantidades iguais. 
  Vejamos:

 !:::::::::::
 l_ _  _  _  _  _
 h:j::j::j::j::j::j

 Luiz comeu #f do chocolate. 

 !::::::::
 l _   _   _
 h::j:::j:::j

 Otvio comeu #;c do chocolate. 
<p>
  As fraes #f e #;c representam a mesma parte da unidade e, 
por isso, so fraes equivalentes. Indicamos assim: #f=#;c

  Duas ou mais fraes que representam a mesma quantidade de uma grandeza so chamadas fraes equivalentes. 
<168>

<R+>
Como reconhecer fraes 
  equivalentes? 
<R->
  
  Como podemos verificar se duas fraes so equivalentes? 
  Para saber se #*ab e #!h, por exemplo, so equivalentes, procedemos da seguinte maneira: 
<R+>
1) Multiplicamos o numerador da primeira frao pelo denominador da segunda frao: #*ab e #!h;
<R->
  numerador da primeira frao  
  denominador da segunda frao = =98=72 
<p>
<R+>
2) Multiplicamos o denominador da primeira frao pelo numerador da segunda frao: #*ab e #!h;
<R->
  denominador da primeira frao  
  numerador da segunda frao =
 =126=72 

<R+>
3) Comparamos os resultados obtidos. Se obtemos dois produtos iguais, as fraes so equivalentes: 
<R->
98=72 e 126=72; 
  Portanto, conclumos que: #*ab=#!h

Exerccios

<F->
<R+>
33. Considere a frao #;c.
a) Multiplique os seus termos por 2. Que frao voc obtm?  
b) Verifique se a frao #;c  equivalente  frao que voc encontrou no item a).  
c) Multiplique os termos da frao #;c por 7. Que frao voc obtm? 
d) Verifique se a frao #;c  equivalente  frao que voc encontrou no item c). 
e) Multiplique os termos da frao #;c por 10. Que frao voc obtm?  
f) Verifique se a frao #;c  equivalente  frao que voc encontrou no item e). 
<169>

34. Considere agora a frao #;}cj.
a) Divida os seus termos por 2. Que frao voc obtm? 
b) Verifique se a frao #;}cj  equivalente  frao que voc encontrou no item a). 
c) Divida os termos da frao #;}cj por 5. Que frao voc obtm? 
d) Verifique se a frao #;}cj  equivalente  frao que voc encontrou no item c). 
e) Divida os termos da frao #;}cj por 10. Que frao voc obtm? 
<p>
f) Verifique se a frao #;}cj  equivalente  frao que voc encontrou no item e).
<R->
<F+>

  Quando multiplicamos ou dividimos os termos de uma frao por um mesmo nmero natural, diferente de zero, obtemos uma frao equivalente  frao inicial. 

<R+>
<F->
35. Classifique como certo ou errado. 
a) #,b=#:f
b) #,c=#i
c) #aj=#;e
d) #;e=#!ae 

36. Responda s perguntas: 
a) Devemos multiplicar os termos da frao #,b por um nmero para encontrar uma frao equivalente de denominador 12. Que nmero  esse? 
b) Devemos dividir os termos da frao #;cf por um nmero para encontrar uma frao equivalente 
<p>
  de numerador 12. Que nmero  esse? 
c) Devemos multiplicar os termos da frao #:h por um nmero para obter uma frao equivalente de denominador 40. Qual  o nmero desconhecido? 
d) Devemos dividir os termos da frao #f por um nmero para obter uma frao equivalente de numerador 2. Qual  o nmero desconhecido? 

37. Juninho, o irmo caula de Alexandre,  muito levado! Ele apagou alguns nmeros do caderno do seu irmo. Vamos ajudar Alexandre a completar a tarefa, antes que a professora corrija a lio. Copie no caderno, completando as fraes: 
a) #,c=#'''ab
b) #:?bh=#'''d
c) #?d=#,?'''
d) #=e=#;'''
e) #,,b=#'''aj
<p>
38. Obtenha uma frao equivalente a #!}ih que tenha numerador e denominador primos entre si. 
<170>
39. Que frao  equivalente a #,;ac e cuja soma dos termos  50? 
40. Sou uma frao equivalente a #;e. A diferena dos meus termos  21. Que frao sou eu? 

41. Depois de percorrer 156 quilmetros de uma estrada, seu Gustavo parou para abastecer. Ele gastou R$60,00, quantia equivalente a #:ag do dinheiro que levava. No posto, um mapa 
  indicava que ele havia percorrido, at ento, #,;ai da viagem planejada. 
a) De quantos quilmetros era a viagem completa que seu Gustavo planejou? 
b) Depois da parada para abastecer, quanto sobrou em dinheiro para seu Gustavo prosseguir a viagem? 
<p>
42. Na gincana de esportes promovida pelo professor de Educao Fsica, Ricardo participou da prova de 100 metros rasos. No final da prova, ele observou que #,d dos nadadores havia chegado  sua frente e que #;c haviam chegado depois dele. Se menos de 15 pessoas participaram dessa prova: 
a) qual foi a classificao de Ricardo? 
b) quantos nadadores chegaram depois dele? 
<F+>
<R->

Simplificao de fraes 

  No decorrer dos exerccios a seguir voc vai aprender a simplificar fraes. 

Exerccios

<R+>
<F->
43. Considere a frao #;cf.
a) Quais so os divisores de 24? 
b) Quais so os divisores de 36? 
c) Quais so os divisores comuns de 24 e 36? 
d) Divida os termos da frao pelos divisores comuns de 24 e 36. Que fraes voc obtm?
<F+>
<R->

  Simplificar uma frao  dividir seus termos por um mesmo nmero diferente de zero e obter termos menores que os iniciais. 
<171>

  As fraes #,;ah, #"ab, #!i, #f e #;c so mais simples que a frao #;cf, porque so escritas com termos menores que os dela. Todas aquelas fraes so equivalentes a #;cf: 
 #;cf~?'#,;ah~?'#"ab~?'#!i~?'
   ~?'#f~?'#;c

44. Responda: 
<R+>
<F->
a) Qual dessas fraes  a mais simples de todas? 
b)  possvel simplificar ainda mais essa frao? 
<F+>
<R->
<p>
  Quando simplificamos uma frao e obtemos uma nova frao que no pode ser simplificada (porque seus termos so primos entre si), dizemos que foi obtida a forma irredutvel da frao dada. 

<R+>
<F->
45. Em seu caderno, copie as fraes da primeira linha e associe com a sua forma irredutvel, na segunda linha: 
1 linha: #:}de -- #,;}ddj -- #"bj -- #;?fj
2 linha: #?ab -- #;c -- #:aa -- #;e
<F+>
<R->

Como obter uma frao na forma 
  irredutvel 

Mtodo das divises sucessivas 
  
  Dividimos os termos da frao por um divisor comum e repetimos o processo at obter uma frao cujos termos sejam primos entre si. 
<p>
  Observe o exemplo: 
<F->
#;cf
  242=12
  362=18
#;cf=#,;ah
  122=6
  182=9
#;cf=#,;ah=#!i
  63=2
  93=3 
#;cf=#,;ah=#!i=#;c
<F+>

Mtodo do mdc 
  
  Dividimos os termos da frao pelo mdc. Veja o exemplo: 
<F->
#;cf :> mdc(24, 36)=12
#;cf
  2412=2
  3612=3
#;cf=#;c
<F+>

<172>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
46. Ache a forma irredutvel de cada frao pelo mtodo das divises sucessivas: 
a) #:f
b) #ab
c) #*ah
d) #!}ij
e) #!:aje
f) #;?}aej

47. Simplifique pelo mtodo do mdc: 
a) #"gb 
b) #?ij
c) #*"bh
d) #,=ahi

48. So dadas as fraes #;}ej e #!;aee.
a) Qual  a forma irredutvel da frao #;}ej? 
b) Qual  a forma irredutvel da frao #!;aee? 
c) Compare os resultados obtidos nos itens a) e b). 
 
  Observe que, se #;}ej=#;e e #!;aee=#;e, ento #;}ej~?'#!;aee.
<F+>
<R->

  Duas fraes que tm a mesma forma irredutvel so equivalentes. 

<R+>
<F->
49. Simplifique as fraes #,;}ij e #,}}ge e responda: Elas so equivalentes?
50. As fraes #:}aje e #}abf so equivalentes? Simplifique-as e responda. 

51. Descubra os pares que vo danar a quadrilha na festa junina da escola, associando as 
  fraes da 1 coluna com  sua forma irredutvel da 2 coluna. 

1 coluna 
Alexandre #,"ba
Ricardo #;ah
Maurcio #;;}ajj
Pedro #ajj
 
2 coluna 
Gabriela #,,e
Luciana #;e
Priscila #!g
Andreia #=c
<173>

52. Quais das fraes indicadas nas fichas so equivalentes a: 
a) #"abf?
  fichas: #;hd, #,ba, #;c, #;,bh, #,;!hd
b) #??ii?
  fichas: #hh, #!!aaa, #,;?bbe, #,?bg

53. Uma frao  equivalente a #}fe e tem o menor denominador possvel. Qual  a frao? 
54. Uma frao  equivalente a #,}he. A soma de seus termos  a menor possvel. Qual  a frao?
<F+>
<R->
<p>
Reduo de fraes ao mesmo 
  denominador 

  Vamos obter fraes equivalentes a #;c, #e e #?f, de modo que todas tenham o mesmo denominador. 
  O denominador comum s trs fraes dadas  mltiplo do denominador de cada uma delas. Assim, o denominador procurado  mltiplo de 3, 5 e 6. 
  O menor nmero com essa propriedade  o mmc de 3, 5 e 6, que  30. 
  Para reduzir duas ou mais fraes ao menor denominador comum, procedemos do seguinte modo: 
<R+>
1) Calculamos o mmc dos denominadores. Esse mmc ser o menor denominador comum. 
 2) Dividimos o denominador comum pelo denominador de cada frao e multiplicamos o resultado pelo numerador dessa frao. 
<R->
<p>
  Logo: 
 23='''30
  303=10
  102=20
 23=2030

 45='''30
  305=6
  64=24
 45=2430

 56='''30
  306=5
  55=25
 56=2530 

Exerccios

<R+>
55. Ache duas fraes com denominadores iguais, sendo uma delas equivalente a #=be e a outra equivalente a #,,fj.
<174>

56. A reciclagem de materiais contribui para a no poluio do meio ambiente, alm de preservar os recursos naturais. 
  Em algumas cidades do Brasil existe coleta seletiva de lixo. Nesse sistema, papis, plsticos, vidros e metais so recolhidos separadamente a fim de serem reciclados. 
  As caixas de coleta seletiva so identificadas por cores; cada cor  especfica para um tipo de material. 
<F->
roxa: #,b, #,c, #,d
cinza: #,e, #:g, #,*gj
vermelha: #:d, #?f, #=aj
amarela: #:bh, #,*fj, #,gj
<F+>

  Reduza as fraes escritas nas caixas de coleta acima ao menor denominador comum. Compare os resultados obtidos com as fraes do quadro a seguir para 
  saber qual material deve ser depositado em cada caixa. 
<F->
metal: #?dbj, #,::dbj, #!}dbj   
vidro: #,gj, #:}gj, #,*gj
plstico: #?fj, #?}fj, #;fj
papel: #!ab, #ab, #:ab
<p>
57. Descubra o lugar em que cada dupla foi passear. Para isso, reduza as fraes ao menor denominador comum. Depois, compare os resultados obtidos com as fraes do quadro. 

_`[{quatro duplas de jovens com as fraes a seguir escritas em suas camisetas_`]

a) #;c e #??ba
b) #,c e #;e
c) #;ae e #,d
d) #=f e #,,aj

#:?cj e #::cj -- shopping
#*hd e #;;}hd -- cinema
#"e e #,;ae -- teatro 
#?ae e #!ae -- sorveteria 
#cj e #?cj -- clube 
#"fj e #,?fj -- praia
<175>

58. Descubra a capital onde cada criana vai passar as frias. Para isso: 
a) reduza as fraes escritas nas figuras ao menor denominador comum e compare os resultados com as fraes do quadro; 
b) localize no mapa os estados visitados pelos nossos amiguinhos. 

_`[{mapa do Brasil destacando os estados Amazonas, Pernambuco, Mato Grosso, So Paulo, Paran e Santa Catarina, com suas capitais. Quatro crianas esto prximas a este mapa e ao lado de cada uma delas h uma figura onde esto escritas as fraes do exerccio. A seguir, 
  os nomes das crianas seguidos da figura com as respectivas fraes_`]

Roberta -- carro: #;g, #,f, #?i
Ricardo -- navio: #;c, #,e, #=h
Maurcio -- mochila: #:e, #;f, #,ab
Alexandre -- avio: #:b, #;c, #?d, #=f
<p>
_`[{quadro adaptado das capitais onde as crianas iro passar as frias. Contedo a seguir_`]

Recife: #:!abf, #;,abf, #=}abf
Porto Alegre: #:!fj, #;}fj, #?fj
So Paulo: #:!abf, #;,abf, #,}abf
Manaus: #"}abj, #;abj, #,}?abj
Cuiab: #:!fj, #;}fj, #,}fj
Curitiba: #,"ab, #"ab, #,?ab, #,ab
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<176>
Captulo 16- Comparao de 
  fraes
 
Ainda o Tangram 

<R+>
_`[{desenho de um tangram onde esto destacados um tringulo azul e outro lils_`]
<R->

  Que frao do Tangram representa um tringulo azul? E um tringulo lils? 
  O tringulo lils vale #,h do Tangram, e o tringulo azul, #,d.
  Vamos comparar essas fraes. 
  O tringulo lils  menor que o azul. Ento, um oitavo  menor que um quarto. Indicamos assim: #,h#,d

As pizzas 

  A famlia Ribeiro, formada por 8 pessoas, foi a uma pizzaria. Como todos comem bem, Joo (o 
<p>
pai) pediu 3 pizzas e pensou: Vou pedir que repartam cada pizza em 8 pedaos iguais. Assim, distribuo 3 pedaos para cada pessoa. 
  Que frao de pizza cada pessoa vai comer? 
  Cada pessoa comer #:h de pizza.
  Quando as pizzas estavam chegando  mesa, juntaram-se  famlia Ribeiro mais 4 sobrinhos de Joo. Ele pensou rpido e pediu para o garom repartir cada pizza em 12 pedaos iguais e distribuir 3 pedaos para cada pessoa. Quanto cada um comeu? 
  Cada um comeu #:ab de pizza.
<177>
   claro que, quando 3 pizzas so repartidas igualmente para 12 pessoas, a quantidade que cada uma come  menor do que comeria se fossem s 8 pessoas. 
 #:ab#:h

  Quando duas fraes tm numeradores iguais, a menor delas  a que tem maior denominador. 
<p>
Novamente o Tangram 

  Que frao do Tangram representa a figura formada por um tringulo azul? E por dois tringulos azuis? 
 o um tringulo azul -- #,d
 o dois tringulos azuis -- #;d
  Vamos comparar as duas fraes: #,d  menor que #;d
  Indicamos assim: 
 #,d#;d. 
 
  Quando duas fraes tm denominadores iguais, a menor delas  a que tem menor numerador. 

Comparao de fraes 

  Vamos comparar as fraes #=h e #?f.
  Essas fraes tm numeradores e denominadores diferentes. Para compar-las, o primeiro passo  reduzi-las ao mesmo denominador: 
 mmc(8, 6)=24 
<p>
  Ento: 
 #=h=#;,bd e #?f=#;}bd
<178>
  Agora, basta comparar fraes de denominadores iguais: 
 #;}bd#;,bd
  Portanto:
 #?f#=h

  Quando comparamos fraes com numeradores e denominadores diferentes, devemos primeiramente reduzi-las ao mesmo denominador. 

  Uma maneira mais rpida de verificar que #?f#=h  multiplicar em cruz: 58 e 67.
  Notamos que 5867. Portanto, #?f#=h. 

Exerccios

<R+>
<F->
59. Identifique em cada item a maior frao: 
a) #;c ou #,c
b) #=d ou #,,d
c) #,b ou #,c
d) #;e ou #;g 
<p>
60. Indique em cada item a menor frao: 
a) #?g ou #?ab
b) #:aa ou #*aa
c) #:d ou #e
d) #=d ou #"e

61. Qual  a maior frao em cada item: 
a) 3#a4 ou 2#a4? 
b) #ae2 ou #ae7?
c) #a.bea27 ou #b.dgj27?
d) #a1.000 ou #a100?

62. Coloque um dos sinais , o ou = entre as fraes: 
a) 17'''214
b) 114'''4
c) 32'''43
d) 2#:f'''2#?h
e) 25'''37
f) 114'''43
g) 104'''156
<p>
63. Este  o time de basquete masculino da escola de Ricardo. 

_`[{cinco jogadores, enfileirados, do menor para o maior: Jlio, Luca, Alexandre, Mrio e Paulo_`]

  Cada jogador vai receber uma frao para colocar na camiseta. A frao maior fica para o menino mais alto; a menor, para o mais baixo. 
#,b, #;c, #:e, #?f, #=ae
a) Coloque as fraes em ordem crescente e descubra a quem cada frao corresponde. 
b) No campeonato, o time da escola de Ricardo ganhou #?h dos jogos que disputou, e o time de uma outra escola ganhou #=af do mesmo total de jogos. Qual dos dois times obteve melhor classificao nesse campeonato?  
<179>
<p>
64. Neste bimestre, a professora de Portugus pediu que os alunos lessem um livro. Srgio leu #;g do livro em 6 horas. Brbara gastou 3 horas para ler #:e do mesmo livro. 
a) Quem leu mais pginas do livro: Srgio ou Brbara? 
b) Mantendo esse ritmo, quantas horas Srgio ainda vai demorar para ler todo o livro? 
c) De quantas horas mais Brbara precisa para acabar de ler o livro? 

65. Marina e Viviane combinaram ir de bicicleta de Uberlndia at Uberaba, mas no aguentaram e pararam no caminho. Marina percorreu #=aj da estrada que liga essas cidades, e Viviane, #*aa.
  Qual delas chegou mais perto de Uberaba? 
<F+>
<R->
<p>
Desafio

Voc sai desta enrascada? 

  Roberto tem 10 bolsos e 44 moedas. Ele quer colocar as moedas nos bolsos, distribudas de tal maneira que em cada um fique um nmero diferente de moedas. Ser possvel conseguir o que ele pretende? 

               ::::::::::::::::::::::::
<p>            
<180>
Captulo 17- Operaes com 
  fraes

Juntando gua 

  Temos 3 copos idnticos, com uma graduao de 7 partes iguais. 
  Vamos preencher com gua #;g do copo 1 e #:g do copo 2. O terceiro copo continuar vazio.

<F->
copo 1    copo 2    copo 3
cccccy    cccccy    cccccy
v     #    v     #    v     #
v     #    v     #    v     #
v     #    v     #    v     #
v     #    v#    v     #
v#    v#    v     #
v#    v#    v-----#

#;g        #:g

<F+>

<p>
  Se despejarmos a gua dos copos 1 e 2 no copo 3, quanto teremos nesse copo?

<F->
copo 3
cccccy 
v     # 
v#
v#
v#
v#
v#
<F+>

#?g

  Teremos #;g+#:g do copo, o que d #?g.

Adio 

  No exemplo anterior fizemos uma adio de fraes: 
 #;g+#:g=#?g

  A soma de fraes com denominadores iguais  uma frao cujo denominador  igual ao das parcelas 
<p>
e cujo numerador  a soma dos numeradores das parcelas. 
<181>

Retirando partes 

  Dividimos um retngulo em 11 partes iguais e pintamos 8 dessas partes. Que frao do retngulo foi pintada? 

<F->
!:::::::::::::::::::::
l_ _ _ _ _ _ _ _  _  _  _
h:j::j::j::j::j::j::j::j::j::j::j
<F+>
#"aa

  A seguir, retiramos a cor de 5 das partes pintadas. Que frao do retngulo foi descolorida? 

<R+>
_`[{o smbolo *w* representa as partes descoloridas_`]
<R->

<F->
!:::::::::::::::::::::
l_ _ _ w_ w_ w_ w_ w_  _  _  _
h:j::j::j::j::j::j::j::j::j::j::j
<F+>
#?aa
<p>
  Que frao do retngulo permaneceu pintada? 

<F->
!:::::::::::::::::::::
l_ _ _  _  _  _  _  _  _  _  _
h:j::j::j::j::j::j::j::j::j::j::j
<F+>
#:aa

Subtrao 

  No exemplo anterior, efetuamos subtrao de fraes: 
#"aa-#?aa=#:aa

  A diferena de duas fraes com denominadores iguais  uma frao cujo denominador  igual ao das fraes dadas e cujo numerador  a diferena entre os numeradores. 

E se os denominadores forem 
  diferentes? 

  Vamos calcular #i+#?f.
  O primeiro passo  reduzir as fraes ao mesmo denominador: 
 mmc(9, 6)=18 
<p>
  Logo: 
 #i=#"ah #?f=#,?ah
  Ento:
 #i+#?f=#"ah+#,?ah=#;:ah

  Para somar ou subtrair fraes que tm denominadores diferentes, 
devemos primeiro reduzi-las a um mesmo denominador. 
<182>

Exerccios 

<R+>
<F->
66. Efetue as operaes com fraes: 
a) #?d+#;d
b) #,,c-#=c
c) #,,f+#,f+#?f
d) #,=d-#,:d
e) 3#,e+2#:e
f) 2#,e+3#;e
g) 5#;c-2#,c
h) 3#:d-2#:d

67. Calcule: 
a) #:b+#;c
b) #:b-#;c
c) #=ab+#,,bj
<p>
d) #,f+#?d+#;c
e) #,b+#,c
f) #:b-#,d
g) 2#;e+#,,b+#,c
h) #=ab+#?ah

68. Quem vai ganhar o cabo de guerra: o time de camiseta branca ou de camiseta amarela? 
camiseta branca: 5#?g, 4#;g, 1
camiseta amarela: 1, #,c, #;c
  Descubra, somando as fraes de cada lado. Ganha quem tiver a maior soma. 

69. Calcule o valor das expresses: 
a) #:b-#;e+#?d-#;c
b) 1+#,b-#,e-#=d-#?d
c) #=h-#?f+#"i-#=i
d) 2#,c+3#,b-5#,f 

70. O salo do Centro Esportivo est sendo ladrilhado com cermica. Seu Aparecido, o pedreiro, comeou a trabalhar 
<p>
  anteontem e conseguiu ladrilhar #,g do salo. Ontem ele ladrilhou mais #:h. Nesses dois dias j foram assentados 870 ladrilhos. Quantos ladrilhos, ao todo, sero colocados no salo? 

71. Alexandre ganhou R$185,00 do av. Ele guardou #e desse dinheiro na poupana e decidiu completar um lbum de figurinhas com o restante. Com a primeira compra, Alexandre conseguiu preencher #:h do lbum. Na segunda compra, preencheu mais #?ab do lbum. 
a) Quanto Alexandre guardou na poupana? 
b) Quanto sobrou para ele colecionar figurinhas? 
c) Com as duas compras de figurinhas, que frao do lbum Alexandre preencheu? 
<p>
d) Se no lbum de Alexandre cabem 240 figurinhas, quantas 
  figurinhas ficaram faltando para ele preencher o lbum? 
<183>

72. Em razo da instalao da rede de gua em certo bairro, foi construdo um grande reservatrio, alimentado por uma bomba-d'gua. No primeiro dia de funcionamento da bomba, foi enchido #,c do reservatrio; no segundo dia, foram completados mais #;e dele. Se ainda faltam 4.400 litros para completar o reservatrio, qual  a sua capacidade? 
73. Ao voltar de um passeio, Irene aproveitou para continuar a leitura de um livro. Ela leu #,d do livro anteontem e #,c ontem, mas ainda faltam 30 pginas. Qual  o nmero de pginas do livro? 
<F+>
<R->
<p>
Multiplicao 

  Quanto  3.#;g?
  Podemos pensar que: #;g do retngulo a seguir corresponde  parte colorida. 

<F->
!:::::::::::::
l_ _  _  _  _  _  _
h:j::j::j::j::j::j::j
<F+>

  Logo, 3.#;g  o triplo dessa parte. Observe: 

<F->
!:::::::::::::
l_ _ _ _ _ _  _
h:j::j::j::j::j::j::j
<F+>

  Ento, podemos dizer que: 
 3.27=67=?3.2*7
  Tambm podemos pensar assim: 
 3.27=27+27+27=
  =?2+2+2*7=3.27=67
  Vejamos outro exemplo. 
  Quem sabe quanto  4.#:e? 
<p>
  Observe a soluo encontrada: 
 4.35=35+35+35+35=
  =?3+3+3+3*5=?4.3*5=
  =125
<184>
  E como fazemos se os dois fatores forem fraes? 
  Por exemplo, quanto  #,c.#,e?
  Podemos pensar que: #,e do retngulo corresponde  parte colorida  da figura. 

<F->
<R+>
_`[{o smbolo ** representa a parte colorida_`]
<R->

!::::::::::::::
l              _
r::::::::::::::w
l              _
r::::::::::::::w
l              _
r::::::::::::::w
l              _
r::::::::::::::w
l_ #,e
h::::::::::::::j
<F+>

  Logo, #,c.#,e  #,c da parte colorida da figura.
<p>
<R+>
_`[{o smbolo *t* representa #,c da parte colorida_`]
<R->

<F->
!::::::::::::
l    _    _    _ #,e
r::::::::::::::w
l    _    _    _ #,e
r::::::::::::::w
l    _    _    _ #,e
r::::::::::::::w
l    _    _    _ #,e
r::::::::::::w
l  _  _ tt _ #,e
h::::j::::j::::j
           #,c
<F+>

  Podemos notar que o resultado final  #,ae do retngulo. Ento: 
 #,c.#,e=#,ae=?1.1*?3.5*
  Acompanhe mais estes exemplos:
  Quanto  #,d.#,g? 
  A soluo encontrada : 
14.17=128=?1.1*?4.7*
  Quanto  #;c.#?f?
<p>
  Podemos pensar que #;c=2.#,c e #?f=5.#,f. Ento: 
 23.56=2.13.5.16=
  =2.513.16=10.1
  18=1018=?2.5*?3.6*

  O produto de duas fraes  uma frao cujo numerador  o produto dos numeradores e cujo denominador  o produto dos denominadores. 

  Tente representar a multiplicao acima usando figuras, como nas situaes anteriores. 

Exerccios 

<R+>
74. Que frao representa a parte colorida da figura? 
<R->

<F->
!::::::::::
l_  _  _  _  _
h::j::j::j::j::j
<F+>

<R+>
<F->
  Agora, em relao a essa frao, calcule: 
a) o dobro 
b) o triplo  
c) a metade 
d) a tera parte 
e) #;c
f) #?h

75. Calcule o qudruplo de: 
a) #,,bj
b) #;c
<F+>
<R->

  Depois de calcular o produto de duas fraes, devemos simplificar 
a frao obtida, colocando-a na forma irredutvel. Veja o exemplo: 
<R+>
 #,,h.#g=#ef=#,,ad (forma irredutvel) 
<R->
  Para facilitar a simplificao, podemos cancelar os fatores comuns aos numeradores e aos denominadores antes de fazer a multiplicao. 
  Observe: 
<R+>
<F->
o #e.#;}g
  #e.#;}g=#a.#g=#,!g
<p>
o #e.#;?ab
  #e.#;?ab=#,a.#?c=#?c
o #;c.#*e.#=bb
  #;c.#*e.#=bb=#,a.#:e.#=aa=#;,ee

76. Dona Carminha pediu a Luciana que entregasse doces nas casas de cinco fregueses. 

_`[{desenho das casas dos fregueses, a seguir_`]
Dona Bela: #,e.#;c
Dona Cristina: #,b.#,c.#,e
Seu Gabriel: #;c.#:b
Dona Neide: #!e.#;?c
Seu Mrio: #,:ad.#;,ci

  Para descobrir em que sequncia Luciana vai entregar os doces: 
a) efetue as multiplicaes indicadas nas casas; 
b) compare os resultados obtidos, escrevendo-os na ordem decrescente. Essa ordem corresponde  ordem de entrega. 
<186>
<p>
77. Em uma partida de basquete meninos contra meninas os dois times marcaram juntos 126 pon-
  tos. Efetue as multiplicaes e responda: 
a) Quantos pontos cada jogador fez? 
b) Quem foi o cestinha do jogo?  
c) Quem fez menos pontos? 

_`[{a seguir os pontos marcados por cada jogador_`]
Gabi -- #;g.#:d
Tonho -- #g.#;h
Zelu -- #,c.#;g
Fabiano -- #,=ah.#*di.#ba
Marta -- #,"ab.#;bh.#;;i

78. Calcule: 
a) 2.#,c 
b) 5.#?c
c) 1.#c
<p>
79. Transforme em frao imprpria: 
a) 2#,c 
b) 5#?c
c) 1#c 

80. Compare os exerccios 78 e 79. Qual  a diferena entre eles? 
<F+>
<R->
  *Inverso ou recproco* de uma frao diferente de zero  a frao que se obtm trocando entre si o numerador e o denominador da frao dada. 
  Por exemplo: o inverso de #;c  #:b. 

<R+>
<F->
81. Calcule o produto de cada frao pelo seu inverso: 
a) #:e
b) #g
c) #;c
d) #?g
  Compare os resultados obtidos. 
<F+>
<R->

  O produto de uma frao pelo seu inverso  1. 

<R+>
<F->
82. Calcule o valor das expresses: 
a) #?c.#,b+#,d
b) #;e.#,}g-#?g
c) #,b+#,c.#;e-#:h
d) #:d+#c.#"g-#=h
e) 2#,b+#?g.#,be
<187>

83. Descubra o brinquedo preferido de cada criana no parque de diverses. Para isso, calcule o valor das expresses e compare o resultado com as fraes da tabela. 
a) Ricardo: #,,b-#,,d.#;e+#,be
b) Luciana: 1+#,b.#?d-#;c.#?b-#;e
c) Gabriela: #:b+1+#,b.2+1#,c.3+#,d
d) Priscila: #,"ce.#;e+#;,ae.#?di.#=b-1
e) Maurcio: #;e.1+#;c.#,d-#,e

_`[{tabela adaptada contendo os nomes dos brinquedos e os resultados das expresses. Contedo a seguir_`]
Roda-gigante -- #,=,bde
Carrossel -- #;}be
Montanha-russa -- #:,ge 
Trem fantasma -- #=,d 
Palcio dos horrores -- #*dj 
Chapu mexicano -- #,;,ajj 

84. Em uma das barracas do parque de diverses, a brincadeira consiste em acertar bolas no nariz do palhao para ganhar prmios. Alexandre acertou duas 
  bolas. Para saber que brinquedos ele ganhou, resolva as expresses e compare os resultados com as fraes do quadro a seguir. 
a) 7-#,,b-#,:d.#,b+#,e
b) #,b.#,e+#,b.#,c-#,e.#,f+
  +#,b.#,e

_`[{quadro adaptado; contedo a seguir_`]
 Urso de pelcia: #,?,dj
 Carrinho: #;,ge
<p>
 Bola de vlei: #?}:ijj
 Bola de futsal: #,:ajj

85. Da quantia em dinheiro que ganhou do seu pai, Luana gastou #:g com brinquedos. Do restante, ela gastou #,c comprando lanche. Que frao do dinheiro que Luana ganhou ela gastou com o lanche? 

86. Luciana comeu #;e de uma barra de chocolate, e Gabriel 
  comeu #;c do que sobrou. O restante, eles deram para Maurcio. 
a) Quem comeu mais chocolate: Luciana ou Gabriel? 
b) Que frao do chocolate Maurcio comeu? 
<F+>
<R->
<188>

Diviso 

  Como voc j sabe, dividir uma quantidade significa reparti-la em quantidades menores, todas iguais entre si. 
  A operao de diviso pode ser usada para: 
<R+>
 sabendo em quantas partes se quer dividir, descobrir quanto haver em cada parte. 
 sabendo quanto haver em cada parte, descobrir em quantas partes se deve dividir. 
<R->
  Observe os exemplos a seguir. 

Repartindo muito leite 

  Para repartir igualmente 40 litros de leite entre 10 famlias, quanto cada famlia dever receber? 

<F->
!::::::::::::::
l  4010=4  _
h::::::::::::::j
<F+>

  Cada famlia receber 4 litros de leite. 
<p>
  Se 40 litros de leite devem ser colocados em jarras de 2 litros cada uma, quantas jarras sero necessrias? 

<F->
!::::::::::::::
l  402=20  _
h::::::::::::::j
<F+>

  Sero necessrias 20 jarras. 
<189>
  Se as jarras forem de 1 litro cada uma, quantas sero necessrias? 

<F->
!::::::::::::::
l  401=40  _
h::::::::::::::j
<F+>

  Sero necessrias 40 jarras. 
  Se tivermos canecas de #,b litro cada uma, quantas sero necessrias? 
  Podemos pensar assim: com cada litro de leite  possvel encher 
<p>
 2 canecas; ento, com 40 litros podemos encher 402=80 canecas. 

<F->
!:::::::::::::::
l 40#,b=80   _
h:::::::::::::::j
<F+>

  Se tivermos copos de #,d de litro cada um, quantos sero necessrios? 
  Podemos raciocinar da seguinte maneira: com cada litro de leite podemos encher 4 copos; ento, com os 40 litros podemos encher 404=160 copos. 

<F->
!::::::::::::::::
l  40#,d=160  _
h::::::::::::::::j
<F+>

<190>
  E se tivermos garrafas de #e de litro, quantas sero necessrias? 
  Podemos pensar assim: para encher 5 garrafas so necessrios 4 litros de leite, porque 5.#e=4. 
<p>
  Dessa forma, dividindo os 40 litros em partes, cada uma de 4 litros, obtemos 10 partes. Cada parte enche 5 garrafas. Ento, como 10.5=50, sero necessrias 50 garrafas. 

<F->
!:::::::::::::::
l  40#e=50  _
h:::::::::::::::j
<F+>

  Vamos observar novamente as divises que fizemos nos problemas propostos anteriormente: 
<R+>
 4010=4=#}aj=40.#,aj; ento, 4010=40.#,aj 
 402=20=#}b=40.#,b; 
  ento, 402=40.#,b 
 401=40=40.1; ento, 401=40.1 
 40#,b=80=40.2; 
  ento, 40#,b=40.2
 40#,d=160=40.4; 
  ento, 40#,d=40.4
 40#e=50=10.5=404.
  .5=40.#?d; ento, 40#e=
  =40.#?d 
<R->
<p>
  O quociente de um nmero natural por uma frao  igual ao produto desse nmero natural pelo inverso da frao. 

Repartindo pouco leite 

  Se #,b litro de leite vai ser repartido igualmente em 4 copos, quanto vai ficar em cada copo? 
  Temos: #,b4=#,h
  Ento, #,b4=#,b.#,d.
<191>

Enchendo baldes e baldes 

  Se #=?b litros de leite vo ser repartidos igualmente em 4 baldes, quanto vai ficar em cada balde? 
  Vamos dividir #=?b por 4: 
 #=?b4=75.?#,b4*=75.#,h=#=?h
  Ento: 
 #=?b4=#?b.#,d=#=?h ou 9#:h

  O quociente de uma frao por um nmero natural  igual ao produto dessa frao pelo inverso do nmero natural. 
<p>  
  Se #=?b litros de leite vo ser repartidos igualmente em garrafas de #e litro, quantas garrafas sero necessrias? 
  Agora precisamos dividir #=?b por #e.
  Podemos repetir o raciocnio: para encher 5 garrafas so necessrios 4 litros de leite. Dessa forma, dividindo #=?b litros de leite em partes de 4 litros, cada parte enche 5 garrafas. Como #=?b4=#=?h, obtemos #=?h de partes (ou seja, 9#:h de partes) e, como #=?h.5=#:=?h, sero necessrias #:=?h garrafas (ou seja, 46#=h de garrafas). 
  Temos: 
 #=?b#e=#=?b4.5=#=?h.
  .5=#:=?h
  Ento: 
 #=?b#e=#=?b.#?d

  O quociente de uma frao por outra  igual ao produto da primeira frao pelo inverso da segunda. 
<192>
<p>
Exerccios 

<R+>
87. Forme duplas associando as fraes da 1 coluna s suas correspondentes da 2 coluna. 
<R->

<F->
1 coluna:
Luciana: #:d
Alexandre: #,b
Gabriela: #=aa
Priscila: 3
Ricardo: #?i
Maurcio: 5

2 coluna:
Paulo: 2
Mariana: #,,g
Pedro: #*e
Jussara: #c
Patrcia: #,e
Renato: #,c

<R+>
88. Encontre o quociente das divises apresentadas: 
a) #=e#,e #,c2#,c
b) 5#,c #,*bj#?=ce
c) #,,d#*d 2#,d3#g
<p>
d) #,b2 #,,b#,,e
e) #*b#=d #=c#,,f
f) #,:f#;i #*e#=ae

89. Calcule o valor das expresses: 
a) #:d+#;d#,c+#c
b) #:b+#;c#:d+#c
c) #,b-#,c#,d-#,f
d) #,}c-#,c#;e+#,b
e) #,b+#,c+#?d2-#,d+#c
f) #,c.#:e+#,}g.#=e
  2-#,b.#:d
g) #;c.#*h-#?di-#,}g2-#:=bh
h) 1-#,b.1-#,c.1-#,d
  1-#,e
<F+>
<R->

  Vamos para um desafio maior. 
  Veja a seguinte diviso: 
 23~45.
  Convenciona-se que essa expresso corresponde ao quociente da diviso #;c#e, assim como #}aj 
 um nmero igual ao quociente da diviso 4010. 
  Logo: 
 23~45=#;c#e=#;c.#?d=#?f
<193>
<p>
<R+>
90. Agora, enfrente este desafio: 
<R->
 ?#;,!ab#=cg*~?#,bd#,};ea*
  ?12#"b*~?#;=i3* 

<R+>
<F->
91. Calcule: 
a) 62~7
b) 65~2
c) ?#;c#e*~?#?c#;c*
d) ?#ae#;c*~?#,;bd#:h*
e) ?#:b.#g-#:ad.2*~
  ~?#;c.#:aj+#=be.5*+4

92. Com a venda de doces, dona Carminha conseguiu ganhar R$1.600,00 neste ms. Com metade desse dinheiro ela comprou alimentos e com #,d, o material 
  escolar de Luciana. Com #:h do 
  que sobrou ela comprou um vestido e o restante guardou na poupana. 
a) Quanto dona Carminha gastou em alimentos? 
b) Quanto custou o material escolar de Luciana? 
c) Qual  o preo do vestido novo de dona Carminha? 
d) Quanto dona Carminha guardou na poupana? 
e) A quanto corresponde em frao esse investimento? 

93. Em uma pesquisa com todos os moradores da rua do Sol, foi feita a pergunta A que programa de TV voc assiste no horrio das 20 h?. Observe o resultado: 
 #,b dos entrevistados prefere o *Festival de Palhaadas*.
 #,b do restante prefere *o Jornal das Vinte*.
 Os outros 130 moradores da rua assistem  novela *Amor e Lgrimas*. 
a) Quantas pessoas moram na rua do Sol? 
b) Quantas assistem ao *Festival de Palhaadas*? 
c) Quantas preferem *o Jornal das Vinte*? 
<p>
94. Em certo estado do Brasil, #:d da populao so pessoas alfabetizadas, mas somente #,h concluiu o ensino fundamental. Que frao das pessoas alfabetizadas concluiu o 9 ano?  

95. O Rancho dos Sucos fez uma pesquisa para saber a preferncia de seus clientes. A pesquisa apontou que #,c dos entrevistados prefere suco de laranja, #,d prefere suco de abacaxi, #,e, suco de manga, e o restante, 195 pessoas, prefere suco de maracuj. 
a) Quantas pessoas foram entrevistadas? 
b) Quantos entrevistados preferem suco de laranja?  
c) Quantos preferem suco de abacaxi? 
d) Quantos preferem suco de manga? 
<194>
<F+>
<R->
<p>
Potenciao 

  Observe o clculo de algumas potncias: 
 234
  Elevar uma frao  quarta potncia  calcular um produto de quatro fatores iguais  base. 
  Ento: 
 234=23.23.2
  3.2.3=2434=1681
 234=1681 
 
 231
  Toda frao elevada ao expoente 1 d como resultado a prpria frao: 
 231=23

 230
  Toda frao elevada ao expoente 0 d como resultado o nmero 1: 
 230=1
<p> 
  Para elevar uma frao a um dado expoente, devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente. 

Exerccios 

<R+>
<F->
96. Calcule: 
a) 122
b) 2#+d2
c) 134
d) 322
e) 783
f) 1#,b3
g) 123 
h) 3#?f2
i) 254
<195>

97. Qual  o valor destas expresses? 
a) 122+232
b) 22-322
c) 13+132+133
d) 25+122-110
<p>
98. Calcule o valor das expresses: 
a) 452-45453
b) 345344
c) 352353
d) 133.134
  135 

99. Calcule: 
a) 76-122115
b) 421+3282
c) 32+1201-#,b1
d) 314.76+123
e) 27114-232427
f) 12-163
g) 232.233
  235

100. Calcule o valor de cada expresso: 
a) 12169.132235+
  +12-114
b) 125.234.
  .343.452+
  +152.233.
  .34.542
<p>
c) 2452+323.25
d) 122.133.
  .23.34+1.1-67
e) 1+3.242.
  .3-25.2583
  2.14+13

Matemtica em notcia
<F+>
<R->

  Vamos entender o que  mdia aritmtica. 
  Imagine que voc caminhe 10.000 passos no sbado e 11.000 passos no domingo; somando, so 
21.000 passos nos dois dias. Dividindo 21.000 por 2, obtemos 10.500 -- a mdia aritmtica de 10.000 e 11.000. Ento, voc teria caminhado, em mdia, 10.500 
passos por dia. Isso quer dizer 
que, se voc tivesse caminhado 10.500 passos no sbado e 10.500 passos no domingo, o total de passos seria o mesmo, isto , 21.000 passos. 
<p>
  Agora leia este infogrfico publicado no jornal *Folha de S. Paulo* e depois responda s perguntas. 
<196>

Falando em Mdia

O Fim de Semana das Crianas

  Elas andam menos aos sbados e nos domingos, diz a pesquisa.

<R+>
Finais de semana: 10.714 passos por dia (em mdia); 6 horas, tempo mdio diante da TV.
 Durante a semana: 11.120 passos por dia (em mdia); 5 horas, tempo mdio diante da TV.

 12 mil  a quantidade de passos dirios ideal para as crianas.
 2 horas a mais  o incremento mdio no tempo de sono nos dias de folga.
<R->
<p>
  A pesquisa foi feita com 780 crianas de 10 a 12 anos. Para contar os passos, foram considera-
dos 40% delas, que usaram o sensor de movimento com regularidade.

<R+>
Fonte: Secretaria de Estado da Sade, em parceria com o
  Celafiscs (Centro de Estudos do Laboratrio de Aptido Fsica de So Caetano do Sul).

a) Se uma criana caminha, em mdia, 10.714 passos por dia no fim de semana e 11.120 passos por dia nos outros dias da semana, quantos passos ela anda em uma semana? 
 b) Quantos passos uma criana deveria andar por semana, segundo a reportagem? 
<R->

Teste seu conhecimento 

<R+>
<F->
1. Num stio existem 12 cavalos, 8 vacas e 40 frangos. A 
<p>
  frao desse conjunto de animais que corresponde aos quadrpedes :
a) #;c
b) #,e
c) #,c
d) #;ae

2. Se #:e dos 45 alunos de uma classe so meninas, o nmero de meninos dessa classe : 
a) 18 
b) 27 
c) 15 
d) 30 

3. A frao equivalente a #;e e cujo denominador  35 tem a soma dos termos igual a: 
a) 37 
b) 14 
c) 35 
d) 49 
<p>
4. Gastei numa compra #:d do meu dinheiro e me sobraram R$200,00. A quantia que eu tinha inicialmente era: 
a) R$200,00 
b) R$400,00 
c) R$600,00 
d) R$800,00 

5. Felipe comprou uma moto por R$9.000,00 e efetuou o pagamento do seguinte modo: uma entrada e 10 prestaes iguais, cada qual correspondendo a #,ae 
  do preo total da moto. A quantia paga como entrada foi: 
a) R$3.000,00 
b) R$4.500,00 
c) R$6.000,00 
d) R$7.500,00 

6. Somando-se o dobro de #;e com o triplo de #c obtm-se:
a) #;!ae 
b) #;e 
c) #,!e 
d) #;;ae 

7. Um clube tem 600 scios. Sabe-se que #:e desses scios jogam vlei, #,f pratica natao e #,aj joga vlei e nada. O nmero de scios que no pratica nenhuma dessas duas modalidades de esporte :
a) 60 
b) 100 
c) 200 
d) 360 

8. Numa prova, lvaro acertou #?f das questes, Clvis acertou #=i, e Jarbas acertou #=ab. Pode-se afirmar que: 
a) lvaro acertou menos questes que Clvis. 
b) Clvis acertou menos questes que Jarbas. 
c) lvaro acertou menos questes que Jarbas. 
d) lvaro foi o que acertou o maior nmero de questes. 
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9. A soma dos inversos dos nmeros 3 e #:g  igual a:
a) #;g
b) #"c 
c) #,}ba 
d) 24 
<F+>
<R->
<197>

Matemtica no tempo
 
Fraes 

  A ideia de operao matemtica, inclusive a diviso, j era dominada com muita segurana, por alguns povos da Antiguidade. Essa afirmao  comprovada pelo papiro Rhind, a mais importante fonte de informaes sobre a matemtica egpcia antiga. Escrito por volta do ano 1750 a.C., o papiro recebeu esse nome em homenagem ao antiqurio escocs A. Henry Rhind (1833-1863), que o adquiriu em Luxor, no Egito, em 1858. Atualmente essa raridade faz parte do acervo do Museu Britnico, em Londres. 
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  O papiro Rhind contm 85 problemas prticos, enunciados e resolvidos. O problema 3, por exemplo, tem o seguinte enunciado: Repartir 6 pes entre 10 pessoas. 
  A ideia usada para resolver esse problema  a mesma que usaramos hoje: dividir 6 por 10. O que difere  o processo de diviso e a maneira de expressar o resultado. 
  Atualmente a resposta para o problema seria a frao comum #:e (trs quintos de um po para cada pessoa) ou a frao decimal 0,6. Mas a resposta dada no papiro, transcrita em numerais indo-arbicos,  #,b+#,aj (meio po mais um dcimo de po) -- correta, como se pode verificar.
  O uso das fraes de numerador 1 (fraes unitrias) no  ocasional. Existem dois motivos: primeiro porque, pelas limitaes 
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do seu sistema de numerao, os egpcios s usavam fraes comuns; segundo porque, exceto a frao #;c, eles s usavam fraes unitrias. A frao #;c tinha um papel to especial para os egpcios que, 
para achar #,c de um nmero, eles primeiro achavam #;c e depois sua metade.
  A preferncia pelas fraes unitrias se refletia na maneira como os egpcios escreviam essas fraes. O numerador (nmero 1) era subentendido: eles escreviam apenas o trao de frao (em hierglifos, o o) e o denominador. Por exemplo, como em hierglifos o 2 era indicado por _l e o 10 por s, a resposta ao problema citado seria: 
<F->
o o
_l s
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<198>
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  Por volta do sculo III a.C., os chineses j trabalhavam com fraes comuns. Eles foram os pioneiros na utilizao de um sistema de numerao decimal semelhante ao nosso e de fraes decimais. No Ocidente, as fraes decimais s passaram a ser usadas correntemente a partir do sculo XVI. 
  Como j mencionamos no texto sobre Pitgoras e as propriedades dos nmeros, o universo numrico dos gregos por muito tempo resumiu-se ao conjunto dos nmeros naturais. Considerando que as fraes so imprescindveis no dia a dia, como os gregos conseguiam resolver seus problemas sem elas? Engenhosamente, eles as substituam pela ideia de razo. Observe um exemplo: em vez de dizer que um segmento  #:e de outro, podemos dizer que o primeiro est para o segundo assim como 3 est para
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5. Com o tempo, a ideia de frao acabou sendo incorporada  matemtica grega, com uma notao que lembra remotamente a nossa. Por exemplo, #;c era indicada por ^g ^b, em que ^g (gama) indica o nmero 3, e ^b (beta), o nmero 
2. A notao atual foi introduzida, muito tempo depois, pelos rabes. 
  Os gregos foram, ainda, responsveis pela introduo das fraes sexagesimais. Inspirados no sistema de numerao babilnico (base 60), eles tinham o objetivo de us-las em tabelas astronmicas. Essas fraes so usadas atualmente para exprimir o tempo e a medida angular -- em horas (graus), minutos e segundos. 

Explorando a leitura 

<R+>
<F->
1. O problema 24 do papiro Rhind pede que se faa a diviso de 19 por 8. A resposta dada, com algarismos indo-arbicos, : 2+#,d+#,h
  Verifique, de algum modo, se essa resposta est correta. 
2. Imagine que o nmero de gols marcados num campeonato pela 
  equipe A est para o nmero de gols marcados pela equipe B assim como 2 est para 3. Se a 
  equipe B marcou 39 gols, quantos gols marcou a equipe A? 
3. No Brasil, a temperatura  medida em graus centgrados. Como devem ser expressas as fraes de graus centgrados: em dcimos ou sexagsimos? 

4. Suponhamos que um corredor tenha vencido uma prova com o tempo de 45#,e minutos. Ento, esse corredor venceu a prova em: 
a) 45 min 10 s 
b) 45 min 14 s 
c) 45 min 12 s 
d) 45 min 15 s 
e) 45 min 20 s 
<F+>
<p>
5. O problema seguinte  a variante simplificada de um problema do sculo XIII, cuja autoria  de Leonardo de Pisa (ou Fibonacci -- o mais importante matemtico da Idade Mdia). Leia-o e tente resolv-lo. 

  Um leo cai numa cova de 50 palmos de profundidade. Se o leo sobe durante o dia #,g de palmo e, de noite, escorrega #,i de palmo, quantos palmos ele subir em 1.571 dias? Que frao de palmo falta para ele sair do poo? Depois de quantos dias ele sair da cova? 
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               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo


Fim da Quarta Parte



